La fonction e^(−x²) est la courbe en cloche : elle atteint son maximum de 1 en x = 0 et décroît symétriquement vers 0 dans les deux directions. L'aire sous cette courbe sur toute la droite réelle vaut exactement √π ≈ 1,7724. C'est remarquable : e et π, habituellement rencontrés dans des contextes distincts, sont réunis dans l'intégrale la plus simple de la théorie des probabilités.
The integral of e^(−x²) over all x equals √π ≈ 1.7725. This is the Gaussian integral. Its square root divided by √(2π) gives the standard normal distribution curve.
La preuve est l'une des astuces les plus élégantes des mathématiques. Soit I = ∫e^(−x²)dx. On calcule I² en l'écrivant comme une intégrale double sur x et y, puis on passe en coordonnées polaires r, θ. L'intégrande devient e^(−r²) et l'élément d'aire devient r·dr·dθ. Le facteur r rend l'intégrale élémentaire : ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. En multipliant par ∫₀^(2π) dθ = 2π, on obtient I² = π, donc I = √π.
La loi normale, le théorème central limite, les fonctions d'onde quantiques (qui utilisent des paquets d'ondes gaussiens) et l'approximation de Stirling pour les factorielles reposent tous sur cette seule intégrale. La valeur √π apparaît partout où e^(−x²) est intégrée, ce qui se produit presque partout en probabilités continues.
L'intégrale de Gauss : l'intégrale de -infini à +infini de e^(-x^2) dx = sqrt(pi). L'élégante preuve met l'intégrale au carré, convertit en coordonnées polaires et l'évalue exactement. C'est le calcul clé derrière la loi normale : la densité de probabilité (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2) s'intègre à 1. La fonction gaussienne apparaît en mécanique quantique, diffusion thermique, approximation de Stirling et théorème central limite.