Le théorème de De Moivre dit qu'élever un point du cercle unité à la puissance n multiplie simplement son angle par n. Si vous partez de l'angle θ et appliquez l'opération n fois, vous arrivez à l'angle nθ. C'est le coeur géométrique de l'arithmétique des nombres complexes.
Starting at angle θ=40° on the unit circle. Squaring doubles the angle to 80° (green). Cubing triples it to 120° (red). The point just rotates: its distance from the origin stays 1.
Le théorème découle instantanément de la formule d'Euler e^(iθ) = cosθ + i sinθ. En élevant les deux membres à la puissance n : (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). De Moivre a énoncé son résultat en 1707, 41 ans avant qu'Euler ne publie la formule, donnant à la preuve un air de magie plutôt que de mécanique.
The 6th roots of unity form a regular hexagon on the unit circle. The nth roots of z^n = 1 always form a regular n-gon, equally spaced at angles 2πk/n = τk/n.
Le théorème de De Moivre est l'outil clé pour calculer les puissances et les racines des nombres complexes, dériver les formules d'angles multiples (cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ) et trouver les n racines n-ièmes également espacées de tout nombre complexe. Il relie l'algèbre des nombres complexes à la géométrie de la rotation.
When you multiply two complex numbers, their angles (arguments) add and their magnitudes multiply. If both numbers sit on the unit circle (magnitude 1), only the angles change. Multiplying n times adds the angle n times: that is De Moivre's theorem.
Le théorème de De Moivre montre que cos(n*theta) peut toujours s'écrire comme un polynôme en cos(theta). Ce sont les polynômes de Tchebychev T_n : T_n(cos theta) = cos(n*theta). Par exemple, cos(2*theta) = 2*cos²(theta) - 1, donc T_2(x) = 2x² - 1. Ils apparaissent en analyse numérique, en conception de filtres et en théorie de l'approximation.