Pi est le rapport de la circonference de n'importe quel cercle a son diametre. Quelle que soit la taille du cercle, ce rapport est toujours exactement le meme : π = 3,14159265358979... La definition est geometrique, mais pi apparait en physique, en probabilites, en ingenierie et dans toutes les branches des mathematiques.
Pi ne peut pas s'ecrire sous forme de fraction de deux entiers (demontre par Johann Heinrich Lambert en 1761). Il est aussi transcendant : il n'est la solution d'aucune equation polynomiale a coefficients entiers (demontre par Ferdinand von Lindemann en 1882). Cela signifie qu'il est impossible de construire un carre de meme aire qu'un cercle donne a la regle et au compas. Son developpement decimal ne se termine jamais et ne se repete jamais.
Archimede de Syracuse (~250 av. J.-C.) fut le premier a encadrer rigoureusement pi, montrant qu'il se situe entre 3+10/71 et 3+1/7 a l'aide de polygones inscrits et circonscrits a 96 cotes. Les Babyloniens utilisaient 3,125 et les Egyptiens 3,1605. Le symbole π a ete introduit par le mathematicien gallois William Jones en 1706 et popularise par Euler. En 2024, pi a ete calcule a plus de 100 000 milliards de decimales.
Pi apparait bien au-dela des cercles : dans la distribution normale (la courbe en cloche contient √(2π)), dans l'identite d'Euler e^(iπ) + 1 = 0, dans la probabilite que deux entiers aleatoires soient premiers entre eux (6/π²), dans l'approximation de Stirling n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ, en mecanique quantique, et dans la formule du volume d'une sphere (4πr³/3).
π ≈ 3,14159265358979323846. Irrationnel (Lambert, 1761). Transcendant (Lindemann, 1882). La Journee de Pi est le 14 mars (3/14 en format de date americain). La fraction 22/7 surestime pi de 0,04 %. La meilleure approximation 355/113 est exacte a 6 decimales pres. On ignore si pi est un nombre normal (chaque sequence de chiffres apparaissant avec la meme frequence), mais c'est largement admis.
Archimedes used 96-sided polygons to prove 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, giving 3.1408 < π < 3.1429. He never computed π, he trapped it. The method works because the circle's perimeter lies between the two polygon perimeters.
Pi is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the leibniz formula.