Un nombre est irrationnel s'il ne peut pas s'exprimer sous la forme d'une fraction p/q où p et q sont des entiers. Son développement décimal ne se termine jamais et ne se répète jamais. sqrt(2), pi, e et phi sont tous irrationnels. Ce ne sont ni des exceptions ni des curiosités : la grande majorité des nombres réels sont irrationnels.
Blue: rational numbers (exact fractions). Red: irrational numbers (non-repeating decimals). Between any two rationals lies an irrational, and vice versa.
Comparison table of rational numbers with repeating or terminating decimals versus irrational numbers with non-repeating non-terminating decimals
| RATIONAL: terminates or repeats | IRRATIONAL: never repeats |
|---|---|
| 1/4 = 0.25000... | sqrt(2) = 1.4142135... |
| terminates | no pattern, ever |
| 1/3 = 0.3333... | pi = 3.1415926... |
| repeating block: {3} | no pattern, ever |
| 22/7 = 3.142857... | e = 2.7182818... |
| repeating block: {142857} | no pattern, ever |
| 5/11 = 0.454545... | phi = 1.6180339... |
| repeating block: {45} | no pattern, ever |
The rational numbers, despite being infinitely numerous, can be listed (they are countable). The irrationals cannot be listed. If you picked a real number at random, the probability of it being rational is exactly zero.
Un nombre est irrationnel s'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction p/q avec des entiers p et q. Son développement décimal ne se termine jamais et ne se répète jamais. Les pythagoriciens ont prouvé que sqrt(2) est irrationnel vers 500 av. J.-C., une découverte choquante à l'époque. Pi a été prouvé irrationnel par Lambert en 1761, et e par Euler en 1737. La plupart des nombres réels sont irrationnels : les rationnels sont dénombrablement infinis mais les irrationnels sont indénombrables, donc choisir un nombre réel au hasard donne un irrationnel avec une probabilité de 1. Les irrationnels algébriques satisfont des équations polynomiales ; les transcendants non.