Le théorème fondamental de l'analyse relie deux idées apparemment distinctes. Partie 1 : si l'on intègre une fonction d'un point fixe à x, la dérivée de cette intégrale est la fonction d'origine. Partie 2 : l'intégrale définie de f de a à b est égale à toute primitive F évaluée en b moins F en a.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667. The antiderivative F(x) = x³/3 gives the exact area without approximation.
Avant ce théorème, le calcul des aires nécessitait des sommes de Riemann : découper la région en fins rectangles, les additionner tous, puis passer à la limite. Le théorème fondamental remplace tout cela par une simple soustraction. Newton l'a compris dès 1666 et Leibniz indépendamment en 1675. Leur querelle de priorité a divisé les mathématiques européennes et britanniques pendant une génération.
Chaque intégrale enseignée en cours de calcul utilise la partie 2 : trouver une primitive, l'évaluer aux bornes, soustraire. Cela fonctionne parce que la dérivation et l'intégration sont exactement inverses l'une de l'autre. C'est l'un des résultats les plus profonds et les plus utiles de toutes les mathématiques.
A Riemann sum with 8 rectangles gives ≈ 0.273. The exact answer is 8/3 ≈ 2.667. The Fundamental Theorem gives exact results with no rectangles needed.
Le travail effectué par une force variable F(x) sur un déplacement de a à b est W = intégrale de a à b de F(x) dx = P(b) - P(a), où P est la fonction d'énergie potentielle satisfaisant P' = -F. La vitesse s'intègre en déplacement ; la force s'intègre en impulsion. C'est le théorème fondamental qui rend ces calculs praticables au lieu de nécessiter des sommes de Riemann infinies.