Le problème de Bâle demande : quelle est la valeur exacte de 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯ ? La série converge, mais vers quoi ? Pietro Mengoli l'a posé en 1650. Il a résisté à tous les mathématiciens pendant 84 ans jusqu'à ce qu'Euler le résolve en 1734 à l'âge de 28 ans.
Partial sums approach π²/6 ≈ 1.6449 slowly. Euler proved the limit equals π²/6 in 1734, connecting analysis to geometry.
La preuve d'Euler a factorisé la série de Taylor de sin(x)/x comme un produit infini sur ses racines ±π, ±2π, ±3π… En comparant le coefficient de x² de la forme produit au coefficient de Taylor, on obtient directement Σ 1/n² = π²/6. C'est l'un des calculs les plus célèbres en mathématiques, et l'apparition de π ici n'est pas une coïncidence : les cercles et les sphères ont des liens naturels avec les sommes d'entiers à travers la fonction zêta de Riemann.
Each term 1/n^2 decreases rapidly. Their sum converges to exactly pi^2/6 ~1.6449.
Le résultat se généralise : ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, et toutes les valeurs paires de zêta sont des multiples rationnels de puissances de π. Les valeurs impaires ζ(3), ζ(5), ζ(7)… sont bien plus mystérieuses. Apéry a prouvé que ζ(3) est irrationnel en 1978, mais aucune forme close en termes de π n'est connue.
La probabilité que deux entiers choisis au hasard n'aient aucun facteur commun (soient premiers entre eux) est exactement 6/π², l'inverse de π²/6. Cela représente environ 60,8 %. Ce résultat relie directement le problème de Bâle à la théorie des nombres et aux probabilités.