La constante d'Erdos-Borwein E est la somme 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ Les dénominateurs sont les nombres de Mersenne 2ⁿ − 1. Paul Erdos a prouvé en 1948 que E est irrationnel, en utilisant uniquement des propriétés élémentaires des représentations binaires.
The partial sums converge quickly to E ≈ 1.6066951524. The denominators 2^n−1 grow geometrically, making convergence much faster than the Basel problem.
La série converge géométriquement vite : chaque terme est approximativement la moitié du précédent (puisque 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ pour n grand). Après seulement 20 termes, la somme est exacte à 6 décimales. L'équivalence E = Σ d(n)/2ⁿ (où d(n) compte les diviseurs impairs de n) la relie à la théorie de la divisibilité.
Savoir si E est transcendant reste une question ouverte. Ce qui rend la preuve d'irrationalité d'Erdos mémorable, c'est son économie : il a utilisé le fait que les représentations binaires des dénominateurs 1, 3, 7, 15, 31… (qui sont 1, 11, 111, 1111, 11111 en binaire) ont une structure spéciale qui empêche la somme d'être rationnelle. La valeur : 1,60669515245214159769492939967985…
Each denominator 2^n - 1 is roughly twice the previous. Sum converges to E ~1.6066951524.
La constante d'Erdos-Borwein E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1,60669. Paul Erdos a prouvé son irrationalité en 1948 en utilisant les propriétés binaires des dénominateurs 2^n - 1. Elle est égale à la somme de d(n)/2^n où d(n) compte les diviseurs impairs de n. La série converge rapidement : chaque terme est approximativement la moitié du précédent. Savoir si elle est transcendante est inconnu. Valeur : 1,60669515245214159769492939967985...