ζ(3) est la valeur de la fonction zêta de Riemann en 3 : la somme de 1/n³ sur tous les entiers positifs. Pour les entrées paires, Euler a trouvé de belles formes closes : ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Pour les entrées impaires, aucune formule de ce type n'existe. On ignore si ζ(3) implique π de quelque manière que ce soit.
z(3) sits between two values with known closed forms involving pi. Whether z(3) involves pi is still unknown.
En 1978, Roger Apéry a annoncé une preuve que ζ(3) est irrationnel. L'auditoire était sceptique. Henri Cohen et d'autres mathématiciens se sont précipités chez eux pour la vérifier sur ordinateur pendant la nuit. Le lendemain matin, ils ont confirmé qu'elle était correcte. « C'était comme un coup de tonnerre dans un ciel serein », a déclaré un participant. Apéry avait 64 ans.
The partial sums 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... approach ζ(3) ≈ 1.20206 from below. Convergence is slow: even at n=50 the sum is still 0.003 away.
Savoir si ζ(3) peut s'exprimer en termes de π est la grande question ouverte. Toutes les valeurs paires de zêta sont des multiples rationnels de la puissance correspondante de π. Les valeurs impaires de zêta semblent vivre dans un monde différent. On sait qu'une infinité de valeurs impaires ζ(2n+1) sont irrationnelles (Rivoal, 2000), mais le schéma exact reste mystérieux. Valeur complète : 1,20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = nombre rationnel × π^(2k) pour tout k pair. Euler l'a prouvé pour toutes les valeurs paires. Mais ζ(3), ζ(5), ζ(7)... sont complètement différents. ζ(3) est irrationnel (Apéry), mais aucune relation avec π n'est connue. Il pourrait être véritablement indépendant de π.
Table showing zeta at even integers known as pi fractions but odd integers unknown
| Even s: exact formulas | Odd s: mystery |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irrational (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irrational? unknown |
| All = rational × π^s | No π connection known |
Inconnu. Roger Apéry a prouvé en 1978 que ζ(3) est irrationnel, mais savoir s'il est transcendant reste un problème ouvert. On croit largement qu'il est transcendant, mais aucune preuve n'existe.
En électrodynamique quantique (corrections au moment magnétique de l'électron), en théorie des matrices aléatoires et dans l'entropie du modèle d'Ising bidimensionnel. Il apparaît dans les distributions de Fermi-Dirac et de Bose-Einstein en mécanique statistique.
Ramanujan a trouvé des séries rapidement convergentes pour ζ(3), dont une formule impliquant 7π³/180 et des sommes d'exponentielles. Ses cahiers contenaient des dizaines d'identités liées à ζ(3), dont la plupart n'ont été prouvées que des décennies après sa mort.
Des entiers A(n) = somme de C(n,k)² C(n+k,k)² sur k, qui apparaissent dans la preuve d'irrationalité d'Apéry. Les premiers sont 1, 5, 73, 1445, 33001. Ils satisfont une relation de récurrence et croissent d'une manière qui force les dénominateurs des sommes partielles de 1/n³ à annuler des facteurs spécifiques, rendant la limite irrationnelle.
La constante d'Apéry ζ(3) est la somme 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1,20205690315959. Pour les valeurs paires de s, Euler a trouvé des formes closes impliquant π : ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90. Pour les valeurs impaires, aucune formule de ce type n'est connue. Roger Apéry a prouvé que ζ(3) est irrationnel en 1978 à l'âge de 64 ans. On ignore s'il est transcendant ou exprimable en termes de π.