φ (phi) est la solution positive de x² = x + 1. Cette equation a une signification geometrique : si l'on divise un segment de sorte que le rapport du tout a la plus grande partie soit egal au rapport de la plus grande partie a la plus petite, ce rapport est φ. Aucun autre nombre ne possede cette propriete d'autosimilarite.
Table of Fibonacci ratios converging to phi
| Fib pair | ratio | distance to φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| → ∞ | 1.61803… | 0 |
Le nombre d'or apparait dans le pentagone regulier et le pentagramme, ou les diagonales se coupent dans le rapport dore. Chaque nombre de Fibonacci divise par le precedent tend vers φ. La fraction continue [1; 1, 1, 1, …] est la plus simple fraction continue infinie : que des 1. Cela fait de φ le nombre le plus difficile a approcher par des fractions, lui valant le titre de « nombre le plus irrationnel ».
Cut a square from a golden rectangle. The remaining piece is another golden rectangle, smaller by factor 1/φ. Repeat forever. The arc traces the golden spiral seen in shells and galaxies.
φ satisfait φ² = φ + 1, donc φ = 1 + 1/φ. En substituant de facon repetee : φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Cette fraction continue infinie composee uniquement de 1 est a la fois la definition et la raison de son statut de « nombre le plus irrationnel ». Calcule en precision complete : 1,61803398874989484820…
In a regular pentagon with side length 1, every diagonal has length φ ≈ 1.618. The diagonals also divide each other in the golden ratio. Draw all five diagonals and you get a pentagram: itself full of golden proportions.
Le nombre d'or phi vaut environ 1,61803398874989484820. C'est la solution positive de x² = x + 1. Phi est irrationnel, algebrique, et la limite du rapport de deux nombres de Fibonacci consecutifs. Il apparait dans le pentagone regulier et l'icosaedre, dans les spirales des graines de tournesol, et dans les proportions etudiees depuis la Grece antique. Sa fraction continue [1; 1, 1, 1, ...] en fait le nombre reel le plus difficile a approcher par des fractions, c'est pourquoi la phyllotaxie utilise l'angle d'or derive de phi.
Golden Ratio φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the quadratic formula.