Le nombre d'argent δₛ = 1 + √2 ≈ 2,41421 est la solution positive de x² = 2x + 1. C'est le deuxième membre de la famille des moyennes métalliques : le nombre d'or satisfait x² = x + 1 (que des 1 dans la fraction continue), et le nombre d'argent satisfait x² = 2x + 1 (que des 2 dans la fraction continue [2; 2, 2, 2, …]).
Les nombres de Pell 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408… sont définis par Pₙ = 2Pₙ₋₁ + Pₙ₋₂. Leurs rapports convergent vers δₛ tout comme les rapports de Fibonacci convergent vers φ. Le nombre d'argent gouverne l'octogone régulier : le rapport d'une diagonale à un côté est δₛ. Il apparaît également dans les pavages quasi-périodiques d'Ammann-Beenker.
The red diagonal connects vertices 3 apart (skipping 2). The green side is one edge. Their ratio is exactly 1 + √2 ≈ 2.414, the silver ratio. This is the octagon equivalent of the golden ratio diagonal in a pentagon.
Le nombre d'argent possède une auto-similarité : δₛ = 2 + 1/δₛ = 2 + 1/(2 + 1/(2 + ⋯)). En retirant deux carrés unitaires d'un rectangle δₛ × 1, il reste un plus petit rectangle de mêmes proportions. La série de papier A utilise √2 (qui est δₛ - 1) de sorte que couper une feuille en deux conserve le rapport d'aspect. Valeur : 2,41421356237309504880168872…
A0, A1, A2… each sheet is half the previous. The ratio 1:√2 is the only ratio that survives halving. Fold a 1:√2 sheet: you get a √2:1 sheet, the same proportions rotated. √2 = δₛ - 1, linking the paper series directly to the silver ratio.