e est l'unique nombre pour lequel la fonction eˣ est sa propre dérivée. Partez d'un montant quelconque et laissez-le croître continuellement à 100 % par an. Après exactement un an, vous avez e fois votre mise de départ. Aucune autre base ne partage cette propriété autoréférentielle.
Quand n croît, la suite approche e par en dessous, convergeant vers 2,71828182845904…
Table showing (1+1/n)^n converging to e
| n | (1 + 1/n)ⁿ | distance to e |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
L'interprétation par les intérêts composés : si une banque offre 100 % d'intérêts annuels mais les compose n fois par an, votre solde croît de (1 + 1/n)ⁿ. En composant mensuellement, on obtient 2,613. En composant chaque seconde, on obtient 2,718. En composant continuellement, on obtient exactement e.
At x=1, the height of the curve is e ≈ 2.718 and the slope of the tangent is also e. No other base b^x has this property.
Jacob Bernoulli a découvert e en 1683 en étudiant les intérêts composés. Euler l'a nommé e en 1731. Il est irrationnel (Euler, 1737) et transcendant (Hermite, 1873). Son développement décimal 2,71828182845904523536… ne se répète jamais.
Starting with $1 at 100% annual interest: compounding monthly gives $2.613, daily $2.714, every second $2.718. The limit as n→∞ is exactly e.
e (le nombre d'Euler) vaut environ 2,71828182845904523536. C'est l'unique nombre pour lequel la fonction e^x est égale à sa propre dérivée en tout point. Jacob Bernoulli l'a découvert en 1683 en étudiant les intérêts composés. Leonhard Euler l'a nommé e vers 1731. e est irrationnel (Euler, 1737) et transcendant (Hermite, 1873). Il apparaît dans la croissance et la décroissance continues, les logarithmes naturels, la distribution normale, les intérêts composés, la désintégration radioactive et l'identité d'Euler e^(i*pi) + 1 = 0.
Euler's Number e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the taylor series.