Dans tout triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si les côtés de l'angle droit sont a et b, et l'hypoténuse est c, alors a² + b² = c². Un triangle 3-4-5 vérifie 9 + 16 = 25.
a² + b² = c². For the 3-4-5 triangle: 9 + 16 = 25. The blue and red squares together equal the green square in area.
Des tablettes babyloniennes d'argile datant de 1900 av. J.-C. répertorient des triplets pythagoriciens (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), montrant que le résultat était connu empiriquement bien avant Pythagore. Son école (vers 570 av. J.-C.) en donna la première démonstration. Plus de 370 démonstrations différentes sont aujourd'hui connues, y compris algébriques, géométriques, trigonométriques, et une publiée par le président américain James Garfield en 1876.
Table of Pythagorean triples
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
En n dimensions : la distance de l'origine à (x₁, x₂, …, xₙ) est √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²). Le dernier théorème de Fermat (démontré par Andrew Wiles en 1995 après 358 ans) montre qu'il n'existe pas de solutions entières à aⁿ + bⁿ = cⁿ pour n supérieur à 2. Le théorème de Pythagore est le cas n=2 avec une infinité de solutions entières.
Both big squares are (a+b)×(a+b). Both contain four identical right triangles. What is left over in the left square is c². What is left over in the right square is a²+b². They must be equal.
Dans tout triangle rectangle : a^2 + b^2 = c^2. Connu empiriquement par les Babyloniens dès 1800 av. J.-C. ; démontré pour la première fois par les Pythagoriciens vers 570 av. J.-C. Plus de 370 démonstrations distinctes existent, dont une du président américain James Garfield en 1876. Les solutions entières sont les triplets pythagoriciens : tous les triplets sont engendrés par (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2). Le dernier théorème de Fermat (démontré par Wiles, 1995) montre qu'il n'existe pas de solutions entières analogues pour les exposants supérieurs à 2. Le théorème se généralise en n dimensions par la formule de distance euclidienne.