Un nombre est transcendant s'il n'est racine d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers. π ne satisfait aucune équation du type x^2 - 3x + 1 = 0. e ne satisfait aucune équation de ce type. Ils existent au-delà de la portée de l'algèbre. Bien que rares à nommer, les nombres transcendants sont la règle plutôt que l'exception : presque tous les nombres réels sont transcendants.
Every rational number is algebraic. Every algebraic number is real. But the transcendentals, the numbers outside the algebraic ring, are vastly more numerous than all algebraic numbers combined.
From Liouville's artificial construction (1844) to the Gelfond-Schneider theorem (1934), transcendence theory grew from curiosity to a major branch of number theory.
Table showing algebraic numbers with their minimal polynomials versus transcendental numbers with no such polynomial
| NUMBER | MINIMAL POLYNOMIAL |
|---|---|
| sqrt(2) = 1.41421... | x^2 - 2 = 0 |
| phi = 1.61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| cbrt(5) = 1.70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = sqrt(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| pi = 3.14159... | no polynomial exists |
| e = 2.71828... | no polynomial exists |
| e^pi = 23.1406... | no polynomial exists |
Un nombre est transcendant s'il ne satisfait aucune équation polynomiale à coefficients entiers. Liouville donna le premier exemple explicite en 1844. Hermite prouva que e est transcendant en 1873. Lindemann prouva que π est transcendant en 1882, réglant définitivement l'antique problème de la quadrature du cercle comme impossible. Le théorème de Gelfond-Schneider (1934) montre que a^b est transcendant lorsque a est algébrique et différent de 0 ou 1, et b est algébrique et irrationnel. Bien qu'étant la règle plutôt que l'exception, prouver la transcendance d'un nombre spécifique reste extrêmement difficile.