Tout nombre réel possède une fraction continue : x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯)). Les entiers a₁, a₂, a₃, … sont les quotients partiels. Pour π, ce sont 3 ; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… Pour √2, ce sont 1 ; 2, 2, 2, 2, 2… (périodique, que des 2). Khintchine a prouvé en 1934 que pour presque tout nombre réel, la moyenne géométrique des quotients partiels converge vers la même constante K₀ ≈ 2,68545.
P(k) = log₂(1 + 1/k(k+2)). The partial quotient 1 appears in ~41% of all continued fraction expansions of random real numbers.
La formule de K₀ est K₀ = ∏(k=1 to ∞) (1 + 1/(k(k+2)))^(log₂(k)), qui converge extrêmement lentement. Le théorème de Khintchine est un exemple de résultat vrai pour presque tout nombre, mais qui ne peut être vérifié pour aucune constante spécifique connue. On ne peut exhiber un seul cas confirmé d'un nombre qui le satisfait.
By k=3 over two-thirds of all partial quotients are accounted for. The sequence converges slowly toward 1.
Le fait que 1 domine (41,5 %) explique pourquoi K₀ ≈ 2,685 est inférieur à 3 : les petites valeurs tirent la moyenne géométrique vers le bas. Si tous les chiffres de 1 à 9 étaient équiprobables, la moyenne géométrique serait (1·2·3⋯9)^(1/9) = 9!^(1/9) ≈ 4,15. La forte pondération en faveur de 1 rend K₀ considérablement plus petit.
La constante de Khintchine K0 ≈ 2,68545 est une limite universelle : pour presque tout nombre réel x = [a0; a1, a2, ...], la moyenne géométrique des quotients partiels (a1*a2*...*an)^(1/n) converge vers K0. Prouvé par Khintchine en 1934. L'aspect frappant est l'universalité : presque tout nombre partage cette moyenne géométrique, et pourtant le résultat ne peut être vérifié pour aucune constante connue comme pi ou e. On ignore si K0 est algébrique ou transcendant.