Tout nombre réel possède de meilleures approximations rationnelles : des fractions p/q plus proches de x que toute fraction de dénominateur plus petit. Les dénominateurs q₁, q₂, q₃, … croissent, mais à quel rythme ? Paul Lévy a prouvé en 1935 que pour presque tout nombre réel, qₙ^(1/n) converge vers e^β ≈ 3,27582, où β = π²/(12 ln 2).
For almost all real numbers, ln(qₙ) grows linearly at slope β ≈ 1.1865. The denominators of π's convergents (1,7,106,113,33102…) grow faster on average due to the anomalous partial quotient 292.
Le nombre d'or φ = [1;1,1,1,…] a des dénominateurs de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … qui croissent au rythme de φ ≈ 1,618 par étape. C'est bien plus lent que e^β ≈ 3,276, ce qui explique pourquoi φ est le nombre « le plus irrationnel » : ses approximations s'améliorent le plus lentement. La plupart des nombres ont des dénominateurs qui croissent beaucoup plus vite, au rythme de e^β.
Comparison of denominator growth rates for golden ratio versus typical number
| φ = [1;1,1,1,…] | Typical number |
|---|---|
| qₙ grows as φⁿ ≈ 1.618ⁿ | qₙ grows as (e^β)ⁿ ≈ 3.276ⁿ |
| Slowest possible growth | Lévy's theorem |
La valeur β = π²/(12 ln 2) provient de l'intégration de la distribution de Gauss-Kuzmin. Le ln 2 vient du travail en base 2 (binaire), et π² provient des mêmes sources que ζ(2) = π²/6. Constante de Lévy : 1,1865691104156254… e^β = 3,275822918721811159787681882…
The partial quotient 292 at step 5 makes π's denominators grow much faster than average. For a "typical" number the ratio ln(qₙ)/n → β ≈ 1.187.
| n | Partial quotient aₙ | Convergent pₙ/qₙ | Denominator qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0.00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0.97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1.55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1.19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2.52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1.74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1.54 |
La constante de Lévy beta = pi^2/(12 ln 2) ≈ 1,18657. Pour presque tout nombre réel, le dénominateur de la n-ième réduite qn vérifie qn^(1/n) → e^beta ≈ 3,27582. Prouvé par Paul Lévy en 1935. Le nombre d'or, dont les dénominateurs de Fibonacci croissent au rythme de phi ≈ 1,618, est bien en dessous de la moyenne, confirmant qu'il est le nombre le plus difficile à approcher. La formule combine pi et ln 2, reliant la géométrie du cercle aux logarithmes par la distribution de Gauss-Kuzmin.