Additionnez les inverses de tous les nombres premiers jusqu'a n : 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Cette somme croit, mais extraordinairement lentement : comme ln(ln(n)). La constante de Meissel-Mertens M est l'ecart precis entre cette somme et son terme dominant, tout comme la constante d'Euler-Mascheroni γ est l'ecart entre la serie harmonique et ln(n).
Euler a demontre en 1737 que la somme de tous les inverses des nombres premiers diverge. C'est bien plus difficile que de prouver qu'il existe une infinite de nombres premiers, et cela donne une idee quantitative de la densite des premiers. Le theoreme de Mertens dit ensuite que Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), donnant M comme terme constant precis.
Side by side comparison of Euler-Mascheroni and Meissel-Mertens constants
| Euler-Mascheroni γ | Meissel-Mertens M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0.5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615 |
| All integers | Primes only |
M et γ sont lies par M = γ + Σ₀(ln(1−1/p) + 1/p). On ignore si l'une ou l'autre constante est irrationnelle. Toutes deux sont calculees a des milliards de decimales et presumees transcendantes, mais aucune preuve n'existe pour l'une ou l'autre. M : 0,261497212847642783755426838608669…
Harmonic sum (blue): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Prime reciprocal sum (grows like ln(ln(n))+M): only 0.84, 1.18, 1.52, 1.85 at the same points.
La constante d'Euler-Mascheroni gamma mesure l'ecart entre la serie harmonique (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) et ln(n). La constante de Meissel-Mertens M joue le meme role pour la somme des inverses des nombres premiers (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) par rapport a ln(ln(n)). Ce sont toutes deux des constantes de « correction d'erreur » pour des series divergentes a croissance logarithmique.
La constante de Meissel-Mertens M ≈ 0,26149 joue le meme role pour les inverses des nombres premiers que la constante d'Euler-Mascheroni pour la serie harmonique. Mertens a demontre en 1874 que 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + petite erreur. On ignore si M est irrationnelle. Elle apparait dans le theoreme de Mertens sur les produits de nombres premiers et dans la densite des nombres friables. M et gamma sont lies par une somme specifique sur tous les nombres premiers.