La série harmonique est la somme de toutes les fractions unitaires. Chaque terme 1/n tend vers zéro, ce qui pourrait laisser penser que la somme converge, mais ce n'est pas le cas. La preuve utilise un regroupement : 1/3+1/4 > 1/2, puis 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, et chaque groupe ajoute au moins 1/2, donc le total dépasse toute borne. Pourtant elle diverge avec une lenteur extraordinaire : pour atteindre une somme partielle de 100, il faut plus de termes que d'atomes dans l'univers observable.
H(n) and ln(n) grow together, always differing by approximately γ ≈ 0.5772. Both diverge: to reach H(n) = 100 requires about 10^43 terms.
~10^43 terms are needed to reach H(n)=100. More than atoms in the observable universe.
La série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + ... diverge, comme l'a prouvé Nicole Oresme vers 1350. Bien que chaque terme tende vers zéro, la somme dépasse toute borne. Les sommes partielles croissent comme ln(n) + gamma où gamma ≈ 0,5772 est la constante d'Euler-Mascheroni. Après un million de termes, la somme n'est que d'environ 14. Pour atteindre 100, il faut plus de 10^43 termes. La série alternée 1 - 1/2 + 1/3 - ... converge vers ln 2.