Qu'est-ce que la constante de Catalan ?

Alternating sum 1 − 1/9 + 1/25 − … converging to G

G = 1 − 1/9 + 1/25 − 1/49 + … = Σ (−1)ⁿ/(2n+1)². The alternating series converges slowly. Whether G is irrational remains unknown.

Three equivalent forms of Catalan's constant

G = Σₙ₌₀^∞ (−1)ⁿ/(2n+1)² ≈ 0.91597…

G = ∫₀¹ arctan(t)/t dt = ∫₀^(π/2) ln(1/sin t)/2 · dt

All three expressions are equal. G appears in combinatorics, physics, and analysis.

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Faits essentiels sur la constante de Catalan

La constante de Catalan G = 1 - 1/9 + 1/25 - 1/49 + ... = 0,91596559... Savoir si elle est irrationnelle est l'un des grands problèmes ouverts en mathématiques. Elle apparaît en combinatoire, dans l'évaluation de certaines intégrales et comme valeur de la fonction bêta de Dirichlet en 2. Étudiée par Eugène Catalan en 1865. Calculée à plus de 600 milliards de décimales.

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Question

Quelle est une représentation intégrale simple de la constante de Catalan ?

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