Les mathematiques ont construit cinq systemes de numeration principaux, chacun etant une extension du precedent. Chaque extension a ete motivee par une equation sans solution : « quel est 3-5 ? » a impose les entiers ; « quel est 1/3 ? » a impose les rationnels ; « quel est sqrt(2) ? » a impose les reels ; « quel est sqrt(-1) ? » a impose les nombres complexes.
Table showing properties gained and lost when extending number systems
| SYSTEM | GAINED | LOST/CHANGED |
|---|---|---|
| N (naturals) | counting, +, x | no subtraction |
| Z (integers) | subtraction, negatives | no division |
| Q (rationals) | division, fractions | no sqrt(2) |
| R (reals) | all limits, sqrt(2), pi | no sqrt(-1) |
| C (complex) | all polynomial roots | algebraically closed |
| H (quaternions) | 3D rotations | ab not = ba |
| Each extension is a genuine enlargement, not just renaming |
Blue: natural numbers ℕ. Green adds 0. Purple extends to negative integers ℤ. Orange adds fractions ℚ. Red: irrationals fill the rest of ℝ.
Les mathematiques possedent cinq systemes de numeration principaux : les nombres naturels N (comptage, pas de soustraction), les entiers Z (ajout de la soustraction et des negatifs), les rationnels Q (ajout de la division), les reels R (ajout des limites, des irrationnels), les nombres complexes C (ajout de sqrt(-1)). Chaque extension a resolu une equation insoluble dans le systeme precedent. Les nombres complexes sont algebriquement clos : toute equation polynomiale admet une solution dans C. L'inclusion est stricte : N inclus dans Z inclus dans Q inclus dans R inclus dans C, les transcendants remplissant l'anneau exterieur de R.