L’identité d’Euler découle de la formule d’Euler : eix = cos(x) + i·sin(x). En posant x = π, on obtient eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1, donc eiπ + 1 = 0.
eiθ parcourt le cercle unité. Une rotation de π aboutit en −1. Ajoutez 1, obtenez 0.
Elle relie l’arithmétique (0 et 1), l’algèbre (i), la géométrie (π) et l’analyse (e) — quatre branches différentes des mathématiques — en une seule équation d’une simplicité saisissante. Richard Feynman l’a qualifiée de “la formule la plus remarquable des mathématiques.”
Leonhard Euler (1707–1783) a publié la formule eix = cos(x) + i·sin(x) dans son Introductio in analysin infinitorum (1748). L’identité est le cas particulier où x = π. Euler a introduit ou popularisé les notations e, i, f(x), Σ et π.
The Taylor series for eˣ groups into cos(π) for the real terms and i·sin(π) for the imaginary terms. Since cos(π) = −1 and sin(π) = 0, we get e^(iπ) = −1, so e^(iπ) + 1 = 0.
La formule e^(i*theta) trace un cercle unité dans le plan complexe à mesure que theta augmente. e^(i*pi) est une rotation d'exactement pi radians (180 degrés) depuis 1, aboutissant en -1. Ajouter 1 ramène à 0. C'est pourquoi e^(i*pi) + 1 = 0 : c'est un demi-tour du plan complexe exprimé sous forme d'équation.
e^(iθ) is a rotation operator. At θ=π you have rotated exactly half a circle. The point 1 on the real axis travels to -1. Adding 1 to both sides gives e^(iπ) + 1 = 0.
L'identité d'Euler e^(i*pi) + 1 = 0 réunit les cinq constantes les plus importantes des mathématiques : e (la base des logarithmes naturels), i (l'unité imaginaire), pi (la constante du cercle), 1 (l'élément neutre de la multiplication) et 0 (l'élément neutre de l'addition). Elle découle directement de la formule d'Euler e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta) en posant theta = pi. Puisque cos(pi) = -1 et sin(pi) = 0, on obtient e^(i*pi) = -1. Publiée pour la première fois par Euler vers 1748. Élue la plus belle équation des mathématiques dans de nombreux sondages.