Le produit de Wallis écrit π/2 sous forme d'un produit infini de fractions simples : (2/1) × (2/3) × (4/3) × (4/5) × (6/5) × (6/7) × ⋯ Chaque nombre pair apparaît deux fois, une fois plus grand et une fois plus petit que ses voisins. Multipliez suffisamment de termes et le produit converge vers π/2 ≈ 1,5708.
Wallis product: (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)... The partial products converge to π/2 ≈ 1.5708 from below, oscillating around the limit.
John Wallis dériva cette formule en 1655 à partir de l'intégrale ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx, en comparant les cas n pair et n impair. Ce qui la rend remarquable est qu'elle dérive π par pure multiplication de nombres rationnels, sans aucune géométrie. Le même produit émerge de l'identité de la fonction Gamma : π = Γ(1/2)².
Le produit de Wallis converge très lentement : après n paires, l'erreur est de l'ordre de 1/(4n). Il a une importance théorique énorme en tant que l'un des premiers produits infinis jamais étudiés, ouvrant la voie à l'analyse de sin(x) = x∏(1 - x²/n²π²) et à toute la théorie des produits infinis en analyse complexe.
Even n: I(n) = (π/2)·(1/2)·(3/4)·(5/6)…(n−1)/n. Odd n: I(n) = 1·(2/3)·(4/5)…(n−1)/n. The ratio of adjacent integrals I(2n)/I(2n+1) → 1, giving the Wallis product.