L'infini n'est pas une chose unique. Georg Cantor a montré en 1874 que certains infinis sont véritablement plus grands que d'autres. Les entiers, les fractions et les nombres pairs sont tous également infinis. Mais les nombres réels forment un infini strictement plus grand, et aucune liste ne peut tous les contenir.
The natural numbers, integers, and rationals are all countably infinite: they can all be put in a one-to-one correspondence with each other. The real numbers are uncountably infinite: a strictly larger infinity. Between these two sizes, the Continuum Hypothesis asks whether there is anything in between.
Cantor a prouvé en 1874 que tous les infinis ne sont pas égaux. Les nombres naturels, les entiers et les rationnels sont dénombrablement infinis : on peut les lister. Les nombres réels sont indénombrablement infinis : aucune liste complète n'existe, ce qui est prouvé par l'argument diagonal. Le théorème de Cantor montre que l'ensemble des parties de tout ensemble a une cardinalité strictement supérieure à celle de l'ensemble, engendrant une hiérarchie infinie d'infinis. L'hypothèse du continu, selon laquelle aucun infini ne se situe entre les entiers et les réels, a été prouvée indépendante de la théorie des ensembles standard.