La fonction zêta de Riemann est ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ Euler étudia la version réelle et trouva ζ(2) = π²/6 (le problème de Bâle) et la formule du produit ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) sur tous les nombres premiers. Riemann étendit la fonction aux nombres complexes dans son article fondateur de 1859.
Table of zeta function values at even integers
| s | ζ(s) | exact form |
|---|---|---|
| 2 | 1.64493… | π²/6 |
| 3 | 1.20206… | unknown (Apéry) |
| 4 | 1.08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1.01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | trivial zeros |
L'intuition clé de Riemann : en étendant ζ(s) aux s complexes, les zéros non triviaux (où ζ(s) = 0 avec 0 < Re(s) < 1) contrôlent la distribution des nombres premiers. Chaque zéro contribue une oscillation à la fonction de comptage des nombres premiers. Riemann conjectura en 1859 que tous les zéros non triviaux se trouvent sur la droite Re(s) = 1/2. C'est l'hypothèse de Riemann.
Plus de 10 mille milliards de zéros non triviaux ont été vérifiés sur la droite Re(s) = 1/2. Aucun contre-exemple n'a jamais été trouvé. Le Clay Mathematics Institute offre 1 million de dollars pour une démonstration (ou une réfutation). Une preuve donnerait la borne la plus précise possible sur les erreurs de distribution des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann est non démontrée depuis 165 ans.
La fonction zêta de Riemann satisfait une symétrie : zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s). Cela étend zeta à tous les nombres complexes s (sauf s = 1) et relie la valeur en s à la valeur en 1-s. Cela montre que les zéros non triviaux viennent par paires : si s est un zéro, 1-s l'est aussi. Les zéros triviaux en s = -2, -4, -6, ... proviennent du facteur sin(pi*s/2).
La fonction zêta de Riemann est zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... Euler l'a évaluée aux entiers pairs : zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. Riemann l'a étendue aux s complexes en 1859 et a conjecturé que tous les zéros non triviaux se trouvent sur Re(s) = 1/2. Cette hypothèse de Riemann est non démontrée depuis 165 ans et fait partie des problèmes du prix du millénaire de Clay, d'une valeur d'un million de dollars. Plus de 10 mille milliards de zéros ont été vérifiés sur la droite critique. Les zéros contrôlent la distribution des nombres premiers : chaque zéro contribue une oscillation à la fonction de comptage des nombres premiers.