La série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ diverge, mais elle croît incroyablement lentement. Après un million de termes, elle atteint à peine 14. Le logarithme naturel ln(n) croît au même rythme. La constante d'Euler-Mascheroni γ est l'écart précis entre les deux : γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
The difference between the harmonic sum and ln(n) approaches γ ≈ 0.5772 as n → ∞. Convergence is very slow — the gap is still 0.001 at n = 1000.
γ apparaît dans toute l'analyse et la théorie des nombres. Elle relie la série harmonique à la fonction zêta de Riemann : γ = -ζ'(1) au sens formel. Elle intervient dans la fonction Gamma Γ'(1) = -γ, dans la distribution des écarts entre nombres premiers, dans les fonctions de Bessel et dans le développement asymptotique de la fonction digamma.
Savoir si γ est rationnel ou irrationnel est l'un des plus anciens problèmes ouverts en mathématiques. Presque tous les mathématiciens pensent qu'il est transcendant, mais aucune preuve n'existe. Il a été calculé à plus de 600 milliards de décimales : 0,57721566490153286060651209008240243…
The harmonic partial sums H(n) (red, stepped) versus ln(n)+γ (blue, smooth). The gap between them approaches 0 but oscillates: H(n)−ln(n) → γ.
La constante d'Euler-Mascheroni gamma vaut environ 0,57721566490153286060. Savoir si elle est rationnelle ou irrationnelle reste inconnu, c'est l'un des problèmes ouverts les plus célèbres en mathématiques. Euler l'a publiée pour la première fois en 1734 ; Mascheroni l'a calculée indépendamment en 1790. Gamma apparaît dans la fonction Gamma, la fonction zêta de Riemann, le théorème de Mertens sur les produits de nombres premiers, les fonctions de Bessel et la distribution des écarts entre nombres premiers. Comme il n'existe pas d'algorithme de calcul en continu, ses décimales sont pré-calculées et stockées.
Euler-Mascheroni Constant γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the harmonic-logarithm limit.