L'approximation de Stirling dit que pour un grand n, n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. L'apparition de π et de e dans une formule concernant le dénombrement des permutations est frappante. Pour n = 10, l'erreur est inférieure à 1 %. Pour n = 100, elle est inférieure à 0,1 %. La formule s'améliore sans limite à mesure que n croît.
The relative error |n! − Stirling(n)| / n! falls below 1% at n = 8 and below 0.1% at n = 80. For large n, Stirling is essentially exact.
Abraham de Moivre trouva en 1730 que n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ pour une certaine constante C. James Stirling identifia C = √(2π) la même année. Le √(2π) provient de l'intégrale gaussienne : lors de la dérivation de Stirling via la fonction Gamma, l'intégrale ∫e^(-t²)dt = √π apparaît, transportant π dans la formule.
La forme logarithmique est utilisée dans toute la physique : en mécanique statistique, la formule d'entropie de Boltzmann S = k·ln(W) nécessite ln(N!) pour un N immense (des moles de particules). Stirling donne ln(N!) ≈ N·ln(N) - N, ce qui rend le calcul possible. La série asymptotique complète ajoute des corrections : n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)
On a log scale, n! and Stirlings approximation are visually identical. Relative error approaches 0 as n grows.