ثابت غلفوند هو e مرفوعًا للأس π. قيمته التقريبية هي 23.14069263277927… كان إثبات أنه متسامٍ مسألة هيلبرت السابعة التي طُرحت عام 1900 كواحدة من أهم 23 مسألة لم تُحل في القرن العشرين. حلّها ألكسندر غلفوند عام 1934.
يقع e^π قريبًا بشكل مغرٍ من 23 لكنه يبتعد بمقدار 0.14. المصادفة e^π − π ≈ 19.999 أقرب حتى لكنها بلا معنى رياضي.
تنص مبرهنة غلفوند-شنايدر (1934) على أنه: إذا كان a جبريًا وليس 0 أو 1، و b جبريًا وغير نسبي، فإن a^b متسامٍ. ثابت غلفوند e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). هنا a = −1 (جبري) و b = −i (جبري وغير نسبي). تنطبق المبرهنة مباشرةً.
جدول يوضح أمثلة على أعداد أُثبت أنها متسامية بمبرهنة غلفوند-شنايدر
| Expression | a | b | Result |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transcendental |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transcendental |
| √2^√2 | √2 | √2 | transcendental |
التقارب العددي e^π − π ≈ 19.9990999 ليس له تفسير رياضي معروف. من المرجح أنه مصادفة، لكن مصادفات مشابهة (مثل ثابت رامانوجان) تبيّن أحيانًا أن لها أسبابًا عميقة. حُسب e^π إلى ملايين الخانات العشرية: 23.14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. يمكن إثبات ذلك بدون آلة حاسبة: الدالة x^(1/x) لها قيمة عظمى عند x=e، لذا e^(1/e) > π^(1/π)، مما يعطي e^π > π^e.
ثابت غلفوند e^π ≈ 23.14069. إثبات أنه متسامٍ كان مسألة هيلبرت السابعة (1900). حلّها غلفوند عام 1934: إذا كان a جبريًا (ليس 0 أو 1) و b جبريًا وغير نسبي، فإن a^b متسامٍ. بما أن e^π = (−1)^(−i)، و −1 و −i جبريان مع كون −i غير نسبي، تنطبق المبرهنة. التقارب العددي e^π − π ≈ 19.999 ليس له تفسير رياضي معروف.