يتكون العدد المركب من جزأين: جزء حقيقي وجزء تخيلي. الوحدة التخيلية i تحقق i² = −1. كل عدد حقيقي هو عدد مركب حيث b = 0. تملأ الأعداد المركبة مستوى ثنائي الأبعاد بدلًا من خط أحادي البعد، مما يمنح كل معادلة متعددة الحدود عددًا من الجذور يساوي درجتها بالضبط.
الضرب في i هو دوران بمقدار 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة. الضرب في i مرتين (أي في i²) هو دوران بمقدار 180 درجة، مما يحول 1 إلى −1. إذن i² = −1 ليست حيلة جبرية، بل هي دوران.
في الأعداد الحقيقية، المعادلة x²+1=0 ليس لها حل. في الأعداد المركبة لها حلّان: i و−i. تنص المبرهنة الأساسية في الجبر على أنه بالتوسع إلى الأعداد المركبة يكون لكل كثير حدود من الدرجة n بالضبط n جذر.
Table showing polynomials over reals versus complex numbers, demonstrating every degree-n polynomial has exactly n complex roots
| POLYNOMIAL | REAL ROOTS | COMPLEX |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 real roots | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 real root | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 real roots | 4 |
| Every degree-n polynomial has exactly n complex roots (counting multiplicity) |
توسّع الأعداد المركبة خط الأعداد الحقيقية إلى مستوى ثنائي الأبعاد بإدخال i، حيث i تربيع يساوي −1. كل عدد مركب z = a + bi يملك جزءًا حقيقيًا a، وجزءًا تخيليًا b، ومعاملًا |z| = √(a² + b²)، وعُمدة arg(z) = atan(b/a). الضرب في e^(iθ) يُحدث دورانًا بمقدار θ راديان. تنص المبرهنة الأساسية في الجبر على أن كل كثير حدود من الدرجة n يملك بالضبط n جذرًا مركبًا مع احتساب التعدد. الأعداد المركبة هي أساس ميكانيكا الكم ومعالجة الإشارات ومتطابقة أويلر.