ينص تقريب ستيرلينغ على أنه بالنسبة لـ n الكبيرة، n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. ظهور كل من π وe في صيغة عن عدّ التباديل أمر لافت. عند n = 10 الخطأ أقل من 1%. عند n = 100 أقل من 0.1%. تتحسن الصيغة بلا حدود مع نمو n.
الخطأ النسبي |n! − Stirling(n)| / n! ينخفض إلى أقل من 1% عند n = 8 وأقل من 0.1% عند n = 80. بالنسبة لـ n الكبيرة، تقريب ستيرلينغ دقيق عمليًا.
وجد أبراهام دي موافر عام 1730 أن n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ لثابت ما C. حدّد جيمس ستيرلينغ أن C = √(2π) في نفس العام. ينشأ √(2π) من التكامل الغاوسي: عند اشتقاق تقريب ستيرلينغ عبر دالة غاما، يظهر التكامل ∫e^(−t²)dt = √π، حاملًا π إلى الصيغة.
يُستخدم الشكل اللوغاريتمي في الفيزياء: في الميكانيكا الإحصائية، صيغة بولتزمان للإنتروبيا S = k·ln(W) تتطلب ln(N!) لأعداد N ضخمة (مولات من الجسيمات). يعطي ستيرلينغ ln(N!) ≈ N·ln(N) − N، مما يجعل الحساب ممكنًا. المتسلسلة التقاربية الكاملة تضيف تصحيحات: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) − 1/(360n³) + ⋯)
على المقياس اللوغاريتمي، n! وتقريب ستيرلينغ متطابقان بصريًا. الخطأ النسبي يقترب من 0 مع نمو n.