تنص مبرهنة دي موافر على أن رفع نقطة على دائرة الوحدة إلى القوة n يضرب زاويتها ببساطة في n. إذا بدأت عند الزاوية θ وطبّقت العملية n مرة، تنتهي عند الزاوية nθ. هذا هو الجوهر الهندسي لحسابات الأعداد المركبة.
البدء عند الزاوية θ=40° على دائرة الوحدة. التربيع يضاعف الزاوية إلى 80° (أخضر). التكعيب يضاعفها ثلاثًا إلى 120° (أحمر). النقطة تدور فقط: بُعدها عن نقطة الأصل يبقى 1.
تنتج المبرهنة فورًا من صيغة أويلر e^(iθ) = cosθ + i sinθ. برفع الطرفين إلى القوة n: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). صاغ دي موافر نتيجته عام 1707، أي قبل 41 عامًا من نشر أويلر للصيغة، مما جعل البرهان يبدو كالسحر وليس كالميكانيكا.
تُشكّل جذور الوحدة السادسة مسدسًا منتظمًا على دائرة الوحدة. جذور z^n = 1 النونية تُشكّل دائمًا مضلعًا منتظمًا ذا n ضلعًا، متباعدة بالتساوي عند الزوايا 2πk/n = τk/n.
مبرهنة دي موافر هي الأداة الأساسية لحساب القوى والجذور للأعداد المركبة، واشتقاق صيغ الزوايا المتعددة (cos 3θ = 4cos³θ − 3cosθ)، وإيجاد الجذور النونية المتباعدة بالتساوي لأي عدد مركب. إنها تربط جبر الأعداد المركبة بهندسة الدوران.
عند ضرب عددين مركبين، تُجمع زاويتاهما (عُمدتاهما) وتُضرب معاملاهما. إذا كان كلا العددين على دائرة الوحدة (المعامل 1)، فإن الزوايا وحدها تتغير. الضرب n مرة يُضيف الزاوية n مرة: وهذه هي مبرهنة دي موافر.
تُظهر مبرهنة دي موافر أن cos(nθ) يمكن دائمًا كتابته ككثير حدود في cos(θ). هذه هي كثيرات حدود تشيبيشيف T_n: T_n(cos θ) = cos(nθ). مثلًا، cos(2θ) = 2cos²(θ) − 1، لذا T₂(x) = 2x² − 1. تظهر في التحليل العددي وتصميم المرشحات ونظرية التقريب.