φ (فاي) هو الحل الموجب للمعادلة x² = x + 1. لهذه المعادلة معنى هندسي: إذا قسمت قطعة مستقيمة بحيث تكون نسبة الكل إلى الجزء الأطول مساوية لنسبة الجزء الأطول إلى الجزء الأقصر، فإن تلك النسبة هي φ. لا يوجد عدد آخر يملك هذه الخاصية التشابهية الذاتية.
جدول نسب فيبوناتشي المتقاربة نحو φ
| Fib pair | ratio | distance to φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| → ∞ | 1.61803… | 0 |
تظهر النسبة الذهبية في المخمس المنتظم والنجمة الخماسية، حيث تتقاطع الأقطار وفق النسبة الذهبية. كل عدد فيبوناتشي مقسومًا على سابقه يقترب من φ. الكسر المستمر [1; 1, 1, 1, …] هو أبسط كسر مستمر لانهائي: جميعه آحاد. وهذا يجعل φ أصعب عدد في التقريب بالكسور، مما أكسبه لقب “أكثر الأعداد لاعقلانية”.
اقطع مربعًا من مستطيل ذهبي. القطعة المتبقية مستطيل ذهبي آخر أصغر بعامل 1/φ. كرر إلى ما لا نهاية. يرسم القوس اللولب الذهبي الذي يُرى في الأصداف والمجرات.
يحقق φ المعادلة φ² = φ + 1، لذا φ = 1 + 1/φ. بالتعويض المتكرر: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). هذا الكسر المستمر اللانهائي المكون كله من آحاد هو في آن واحد التعريف والسبب وراء صفته بأنه “أكثر الأعداد لاعقلانية”. القيمة الدقيقة: 1.61803398874989484820…
في مخمس منتظم طول ضلعه 1، كل قطر طوله φ ≈ 1.618. تقسم الأقطار بعضها البعض أيضًا وفق النسبة الذهبية. ارسم الأقطار الخمسة جميعها وستحصل على نجمة خماسية مليئة بالنسب الذهبية.
النسبة الذهبية φ تساوي تقريبًا 1.61803398874989484820. وهي الحل الموجب للمعادلة x² = x + 1. φ عدد غير نسبي وجبري، وهو النسبة النهائية لأعداد فيبوناتشي المتتالية. يظهر في المخمس المنتظم والعشريني الوجوه، وفي لوالب بذور دوار الشمس، وفي النسب المدروسة منذ اليونان القديمة. كسره المستمر [1; 1, 1, 1, ...] يجعله أصعب عدد حقيقي في التقريب بالكسور، وهذا هو السبب في أن ترتيب الأوراق النباتية يستخدم الزاوية الذهبية المشتقة من φ.
Golden Ratio φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the quadratic formula.