دالة زيتا لريمان هي ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ درس Euler النسخة الحقيقية ووجد أن ζ(2) = π²/6 (مسألة Basel) وصيغة الجداء ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) على جميع الأعداد الأولية. وسّع Riemann الدالة إلى الأعداد المركبة في ورقته التاريخية عام 1859.
Table of zeta function values at even integers
| s | ζ(s) | exact form |
|---|---|---|
| 2 | 1.64493… | π²/6 |
| 3 | 1.20206… | unknown (Apéry) |
| 4 | 1.08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1.01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | trivial zeros |
الفكرة الجوهرية لـ Riemann: عند تمديد ζ(s) إلى s المركبة، فإن الأصفار غير البديهية (حيث ζ(s) = 0 مع 0 < Re(s) < 1) تتحكم في توزيع الأعداد الأولية. كل صفر يُسهم بتذبذب في دالة عدّ الأعداد الأولية. افترض Riemann عام 1859 أن جميع الأصفار غير البديهية تقع على المستقيم Re(s) = 1/2. هذه هي فرضية ريمان.
تم التحقق من أن أكثر من 10 تريليون صفر غير بديهي تقع على Re(s) = 1/2. لم يُعثَر على مثال مضاد أبدًا. يعرض معهد Clay للرياضيات مليون دولار لمن يُقدّم برهانًا (أو دحضًا). البرهان سيعطي أدق حد ممكن لأخطاء توزيع الأعداد الأولية. فرضية ريمان لم تُبرهَن منذ 165 عامًا.
تحقق دالة زيتا لريمان تناظرًا: zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s). هذا يمدّد زيتا إلى جميع الأعداد المركبة s (ما عدا s = 1) ويربط القيمة عند s بالقيمة عند 1-s. يُظهر أن الأصفار غير البديهية تأتي في أزواج: إذا كان s صفرًا، فكذلك 1-s. الأصفار البديهية عند s = -2, -4, -6, ... تنشأ من عامل sin(pi*s/2).
دالة زيتا لريمان هي zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... حسبها Euler عند الأعداد الصحيحة الزوجية: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. مدّدها Riemann إلى s المركبة عام 1859 وافترض أن جميع الأصفار غير البديهية تقع على Re(s) = 1/2. فرضية ريمان هذه لم تُبرهَن منذ 165 عامًا وهي إحدى مسائل جوائز الألفية لمعهد Clay بقيمة مليون دولار. تم التحقق من أكثر من 10 تريليون صفر على الخط الحرج. الأصفار تتحكم في توزيع الأعداد الأولية: كل صفر يُسهم بتذبذب في دالة عدّ الأعداد الأولية.