المتسلسلة التوافقية 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ تتباعد، لكنها تنمو ببطء شديد. بعد مليون حد بالكاد تصل إلى 14. اللوغاريتم الطبيعي ln(n) ينمو بالمعدل نفسه. ثابت أويلر-ماسكيروني γ هو الفرق الدقيق بينهما: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
الفرق بين المجموع التوافقي و ln(n) يقترب من γ ≈ 0.5772 عندما n → ∞. التقارب بطيء جدًا — الفرق لا يزال 0.001 عند n = 1000.
يظهر γ في جميع أنحاء التحليل الرياضي ونظرية الأعداد. يربط المتسلسلة التوافقية بدالة ريمان زيتا: γ = -ζ'(1) بالمعنى الصوري. يظهر في دالة غاما Γ'(1) = -γ، وفي توزيع الفجوات بين الأعداد الأولية، ودوال بسل، والتمدد التقاربي لدالة الديغاما.
ما إذا كان γ نسبيًا أو غير نسبي هو أحد أقدم المسائل المفتوحة في الرياضيات. يعتقد معظم علماء الرياضيات أنه متسامٍ، لكن لا يوجد برهان على ذلك. حُسب إلى أكثر من 600 مليار خانة عشرية: 0.57721566490153286060651209008240243…
المجاميع الجزئية التوافقية H(n) (أحمر، متدرّج) مقابل ln(n)+γ (أزرق، أملس). الفرق بينهما يقترب من 0 لكنه يتذبذب: H(n)−ln(n) → γ.
ثابت أويلر-ماسكيروني γ يساوي تقريبًا 0.57721566490153286060. لا يُعرف ما إذا كان نسبيًا أو غير نسبي، وهي واحدة من أشهر المسائل المفتوحة في الرياضيات. نشره أويلر أولًا عام 1734؛ وحسبه ماسكيروني بشكل مستقل عام 1790. يظهر γ في دالة غاما، ودالة ريمان زيتا، ومبرهنة مرتنز حول جداء الأعداد الأولية، ودوال بسل، وتوزيع الفجوات بين الأعداد الأولية. بما أنه لا توجد خوارزمية تدفقية، فإن خاناته محسوبة مسبقًا ومخزنة.
Euler-Mascheroni Constant γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the harmonic-logarithm limit.