يظهر الرقم 1 في المواضع 1, 2, 6, 24, 120, 720... (المضروبات). جميع المواضع الأخرى هي 0. الفجوات تنمو أسيًا: بعد الموضع 24 يكون الـ 1 التالي في الموضع 120.
كل اختراق فتح أداة جديدة لإثبات تسامي الأعداد. أثبت ليندمان أن π متسامٍ عام 1882، منهيًا مسألة تربيع الدائرة.
ثابت ليوفيل L = 0.110001000000000000000001... يحتوي على 1 في المواضع 1!, 2!, 3!, 4!, ... وأصفار في بقية المواضع. بناه جوزيف ليوفيل عام 1844 كأول عدد متسامٍ صريح، قبل 29 عامًا من إثبات هيرميت أن e متسامٍ. أظهر برهانه أن الأعداد الجبرية لا يمكن تقريبها بالأعداد النسبية بدقة مفرطة: الآحاد المتباعدة بسرعة في L تنتهك هذا الحد. أثبت البناء بأناقة وجود الأعداد المتسامية دون الحاجة إلى حجة كانتور القطرية اللاحقة.