تُعبِّر متسلسلة تايلور عن أي دالة ملساء كمتعددة حدود لانهائية. كل معامل هو مشتقة: الحد النوني هو f⁽ⁿ⁾(a)/n! مضروبًا في (x-a)ⁿ. بالنسبة للدوال حسنة السلوك مثل eˣ وsin(x) وcos(x)، تتقارب المتسلسلة إلى القيمة الدقيقة للدالة في كل مكان.
Each extra term extends the approximation further. Adding more terms: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
أهم ثلاث متسلسلات ماكلورين: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (تتقارب في كل مكان)؛ sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (تتقارب في كل مكان)؛ cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (تتقارب في كل مكان). تعويض x = iπ في متسلسلة eˣ يُنتج متطابقة أويلر.
Table of Maclaurin series
| f(x) | Series | Radius |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
صاغ بروك تايلور النظرية العامة عام 1715؛ والحالة الخاصة المتمركزة عند الصفر نشرها كولن ماكلورين عام 1742. كل آلة حاسبة وحاسوب يستخدم متسلسلات تايلور لحساب الدوال المتسامية. الخطأ بعد n حدًّا مقيَّد بباقي لاغرانج: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Each pair of terms is one more order of accuracy.
تمثل متسلسلة تايلور دالة ملساء كمتعددة حدود لانهائية: f(x) = f(a) + f′(a)(x-a) + f″(a)(x-a)^2/2! + ... المعاملات هي مشتقات عند نقطة المركز a. متسلسلات ماكلورين متمركزة عند الصفر. المتسلسلات الثلاث الرئيسية تتقارب في كل مكان: e^x = 1 + x + x^2/2! + ...، sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...، cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... تعويض x = i*π في متسلسلة e^x يُثبت متطابقة أويلر. كل آلة حاسبة تستخدم متسلسلات تايلور داخليًّا لحساب الدوال المتسامية.