تسأل مسألة بازل: ما القيمة الدقيقة لـ 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯؟ المتسلسلة متقاربة، لكن إلى ماذا؟ طرحها بيترو مينغولي عام 1650. وأعجزت كل رياضي لمدة 84 عامًا حتى حلّها أويلر عام 1734 وهو في الثامنة والعشرين من عمره.
تقترب المجاميع الجزئية من π²/6 ≈ 1.6449 ببطء. أثبت أويلر أن النهاية تساوي π²/6 عام 1734، رابطًا التحليل بالهندسة.
حلّل أويلر في برهانه متسلسلة تايلور لـ sin(x)/x كجداء لا نهائي على جذورها ±π، ±2π، ±3π… وبمقارنة معامل x² في صيغة الجداء بمعامل تايلور نحصل مباشرة على Σ 1/n² = π²/6. يُعدّ هذا من أشهر الحسابات في الرياضيات، وظهور π هنا ليس مصادفة: فللدوائر والكرات ارتباطات طبيعية بمجاميع الأعداد الصحيحة عبر دالة زيتا لريمان.
كل حد 1/n² يتناقص بسرعة. مجموعها يتقارب إلى π²/6 ≈ 1.6449 بالضبط.
تتعمم النتيجة: ζ(4) = π⁴/90، ζ(6) = π⁶/945، وجميع قيم زيتا الزوجية هي مضاعفات نسبية لقوى π. أما القيم الفردية ζ(3)، ζ(5)، ζ(7)… فهي أكثر غموضًا بكثير. أثبت أبيري أن ζ(3) عدد غير نسبي عام 1978، لكن لا توجد صيغة مغلقة بدلالة π.
احتمال أن عددين صحيحين يُختاران عشوائيًا لا يشتركان في عامل مشترك (أوليان فيما بينهما) هو بالضبط 6/π²، وهو مقلوب π²/6. يبلغ هذا الاحتمال تقريبًا 60.8%. وهو يربط مسألة بازل مباشرة بنظرية الأعداد والاحتمالات.