ما هو ثابت أوميغا؟

التكرار بالنقطة الثابتة: e^(−x) يتقارب نحو Ω

بدءًا من x=0.5، التطبيق المتكرر لـ e^(−x) يتقارب نحو Ω ≈ 0.5671. النقطة الثابتة تحقق Ω = e^(−Ω)، أي ما يعادل Ω·e^Ω = 1.

Iteration	x	e^(−x)	\|x − Ω\|
1	0.5	0.60653	0.067
2	0.60653	0.54545	0.022
3	0.54545	0.57970	0.008
4	0.57970	0.56007	0.003
5	0.56007	0.57121	0.001
…	…	…	→ 0
∞	Ω	Ω	0

دالة لامبرت W: أين يظهر Ω

W(xe^x) = x  →  Ω = W(1)  ≈  0.56714

Ω solves xe^x = 1. It appears in delay differential equations, Lagrange points, iterated exponentials (e^e^e…), and in the time complexity of certain sorting algorithms.

حساب أوميغا

يمكن حساب أوميغا بطريقة نيوتن المطبقة على f(x) = x·e^x − 1، أو بالتكرار البسيط Ω(n+1) = e^(−Ω_n) الذي يتقارب من أي نقطة بداية موجبة. البدء من 1.0 يعطي: 0.3679، 0.6922، 0.5002، 0.6065، 0.5452، ... متقاربًا نحو Ω ≈ 0.56714. حوالي 10 تكرارات تعطي 6 منازل عشرية صحيحة.

المتطابقة الذاتية المرجعية

يحقق أوميغا البرج اللانهائي: Ω = e^(−e^(−e^(−...))). تسلسل لانهائي من الأسيّات السالبة يتقارب نحو أوميغا. وهذا ينتج مباشرة من صيغة التكرار: النقطة الثابتة للتحويل x → e^(−x) هي بالضبط أوميغا.