ζ(3) هي قيمة دالة زيتا لريمان عند 3: مجموع 1/n³ على جميع الأعداد الصحيحة الموجبة. بالنسبة للمدخلات الزوجية، وجد أويلر صيغًا مغلقة جميلة: ζ(2) = π²/6، ζ(4) = π⁴/90، ζ(6) = π⁶/945. أما بالنسبة للمدخلات الفردية، فلا توجد صيغة مماثلة. ولا يزال من غير المعروف ما إذا كان ζ(3) يتضمن π على الإطلاق.
يقع z(3) بين قيمتين لهما صيغ مغلقة معروفة تتضمن pi. لا يزال من غير المعروف ما إذا كان z(3) يتضمن pi.
في عام 1978، أعلن روجيه أبيري عن برهان يُثبت أن ζ(3) عدد غير نسبي. كان الحضور متشككين. سارع هنري كوهين ورياضيون آخرون إلى منازلهم للتحقق منه على الحواسيب طوال الليل. وبحلول صباح اليوم التالي أكدوا صحته. قال أحد الحاضرين: “كان الأمر كالرعد في سماء صافية.” كان أبيري في الرابعة والستين من عمره.
تقترب المجاميع الجزئية 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... من ζ(3) ≈ 1.20206 من الأسفل. التقارب بطيء: حتى عند n=50 لا يزال المجموع يبعد 0.003.
يظل السؤال المفتوح البارز هو ما إذا كان يمكن التعبير عن ζ(3) بدلالة π. جميع قيم زيتا الزوجية هي مضاعفات نسبية للقوة المقابلة من π. أما قيم زيتا الفردية فتبدو وكأنها تنتمي إلى عالم مختلف. من المعروف أن عددًا لا نهائيًا من القيم الفردية ζ(2n+1) أعداد غير نسبية (ريفوال، 2000)، لكن النمط الدقيق لا يزال غامضًا. القيمة الكاملة: 1.20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = عدد نسبي × π^(2k) لجميع القيم الزوجية k. أثبت أويلر ذلك لجميع القيم الزوجية. لكن ζ(3)، ζ(5)، ζ(7)... مختلفة تمامًا. ζ(3) عدد غير نسبي (أبيري)، لكن لا توجد علاقة معروفة بـ π. قد يكون مستقلًا تمامًا عن π.
Table showing zeta at even integers known as pi fractions but odd integers unknown
| Even s: exact formulas | Odd s: mystery |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irrational (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irrational? unknown |
| All = rational × π^s | No π connection known |
غير معروف. أثبت روجيه أبيري عام 1978 أن ζ(3) عدد غير نسبي، لكن ما إذا كان متساميًا لا يزال مسألة مفتوحة. يُعتقد على نطاق واسع أنه متسامٍ، لكن لا يوجد برهان.
في الديناميكا الكهربائية الكمية (تصحيحات العزم المغناطيسي للإلكترون)، ونظرية المصفوفات العشوائية، وإنتروبيا نموذج إيزينغ ثنائي الأبعاد. كما يظهر في توزيعَي فيرمي-ديراك وبوز-آينشتاين في الميكانيكا الإحصائية.
وجد رامانوجان متسلسلات سريعة التقارب لـ ζ(3)، بما في ذلك صيغة تتضمن 7π³/180 ومجاميع أُسِّية. احتوت دفاتره على عشرات المتطابقات المتعلقة بـ ζ(3)، لم يُبرهَن معظمها إلا بعد عقود من وفاته.
أعداد صحيحة A(n) = مجموع C(n,k)² C(n+k,k)² على k، وهي تظهر في برهان أبيري على اللاعقلانية. الأعداد الأولى هي 1، 5، 73، 1445، 33001. تحقق هذه الأعداد علاقة تكرارية وتنمو بطريقة تُجبر مقامات المجاميع الجزئية لـ 1/n³ على إلغاء عوامل محددة، مما يجعل النهاية عددًا غير نسبي.
ثابت أبيري ζ(3) هو المجموع 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959. بالنسبة للقيم الزوجية لـ s، وجد أويلر صيغًا مغلقة تتضمن π: ζ(2) = π²/6، ζ(4) = π⁴/90. أما بالنسبة للقيم الفردية فلا توجد صيغة معروفة. أثبت روجيه أبيري أن ζ(3) عدد غير نسبي عام 1978 وهو في الرابعة والستين من عمره. لا يزال من غير المعروف ما إذا كان متساميًا أو قابلًا للتعبير عنه بدلالة π.