e هو العدد الوحيد الذي تكون فيه الدالة eˣ مشتقة نفسها. ابدأ بأي مبلغ ودعه ينمو باستمرار بمعدل 100% سنويًا. بعد سنة واحدة بالضبط يصبح لديك e أضعاف ما بدأت به. لا يشترك أي أساس آخر في هذه الخاصية المرجعية الذاتية.
كلما زاد n، تقترب المتتالية من e من الأسفل، متقاربة إلى 2.71828182845904…
Table showing (1+1/n)^n converging to e
| n | (1 + 1/n)ⁿ | distance to e |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
تفسير الفائدة المركبة: إذا دفع بنك فائدة سنوية 100% لكنه ركّبها n مرة في السنة، يزداد رصيدك بمقدار (1 + 1/n)ⁿ. التركيب الشهري يعطي 2.613. التركيب كل ثانية يعطي 2.718. التركيب المستمر يعطي بالضبط e.
عند x=1، ارتفاع المنحنى هو e ≈ 2.718 وميل المماس هو أيضًا e. لا يملك أي أساس آخر bˣ هذه الخاصية.
اكتشف يعقوب بيرنولي العدد e عام 1683 أثناء دراسته للفائدة المركبة. سمّاه أويلر e عام 1731. وهو عدد غير نسبي (أويلر، 1737) ومتسامٍ (إرميت، 1873). توسعه العشري 2.71828182845904523536… لا يتكرر أبدًا.
البدء بدولار واحد بفائدة سنوية 100%: التركيب الشهري يعطي 2.613$، اليومي 2.714$، كل ثانية 2.718$. النهاية عندما n→∞ هي بالضبط e.
e (عدد أويلر) يساوي تقريبًا 2.71828182845904523536. وهو العدد الوحيد الذي تساوي فيه الدالة eˣ مشتقتها عند كل نقطة. اكتشفه يعقوب بيرنولي عام 1683 أثناء دراسة الفائدة المركبة. سمّاه ليونهارد أويلر e حوالي عام 1731. e عدد غير نسبي (أويلر، 1737) ومتسامٍ (إرميت، 1873). يظهر في النمو والاضمحلال المستمرين، واللوغاريتمات الطبيعية، والتوزيع الطبيعي، والفائدة المركبة، والاضمحلال الإشعاعي، ومتطابقة أويلر e^(iπ) + 1 = 0.
Euler's Number e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the taylor series.