العدد الكامل يساوي مجموع جميع قواسمه الحقيقية (كل قاسم عدا العدد نفسه). 6 = 1+2+3. 28 = 1+2+4+7+14. وهي نادرة للغاية: لا يُعرف منها سوى 51 عددًا، جميعها زوجية، وتنمو بشكل فلكي. ولا يزال السؤال عما إذا كان يوجد عدد كامل فردي من أقدم المسائل المفتوحة في الرياضيات.
الأعداد الكاملة الأربعة الأولى: صور القواسم
مبرهنة إقليدس-أويلر: الأعداد الكاملة الزوجية ↔ أعداد ميرسن الأولية
n is even perfect ⟺ n = 2^(p−1) · (2^p − 1)
where 2^p − 1 is a Mersenne prime
Euclid proved the → direction. Euler proved ← . All 51 known perfect numbers are even and come from this formula. Whether odd perfect numbers exist is unknown.
الأعداد الكاملة على مقياس لوغاريتمي: تنمو أسرع من النمو الأسي
القيم معروضة كـ log10. حتى على المقياس اللوغاريتمي كل قفزة أكبر بشكل هائل. العدد الكامل الحادي والخمسون يحتوي على أكثر من 49 مليون رقم.
العدد الكامل يساوي مجموع قواسمه الحقيقية: 6 = 1+2+3، 28 = 1+2+4+7+14. أثبت إقليدس أن 2^(p−1)·(2^p−1) عدد كامل كلما كان 2^p−1 أوليًا. وأثبت أويلر العكس: كل عدد كامل زوجي يأخذ هذا الشكل. ولا يزال السؤال عما إذا كان يوجد عدد كامل فردي من أقدم المسائل غير المحلولة؛ ولم يُعثَر على أي منها. لا يُعرف سوى 51 عددًا كاملًا، جميعها زوجية، تقابل أعداد ميرسن الأولية الـ 51 المعروفة.