بنت الرياضيات خمسة أنظمة أعداد رئيسية، كل منها توسيع للسابق. كل توسيع كان بدافع معادلة ليس لها حل: “ما هو 3−5؟” فرض الأعداد الصحيحة؛ “ما هو 1/3؟” فرض الأعداد النسبية؛ “ما هو sqrt(2)؟” فرض الأعداد الحقيقية؛ “ما هو sqrt(−1)؟” فرض الأعداد المركبة.
جدول يوضح الخصائص المكتسبة والمفقودة عند توسيع أنظمة الأعداد
| SYSTEM | GAINED | LOST/CHANGED |
|---|---|---|
| N (naturals) | counting, +, x | no subtraction |
| Z (integers) | subtraction, negatives | no division |
| Q (rationals) | division, fractions | no sqrt(2) |
| R (reals) | all limits, sqrt(2), pi | no sqrt(-1) |
| C (complex) | all polynomial roots | algebraically closed |
| H (quaternions) | 3D rotations | ab not = ba |
| Each extension is a genuine enlargement, not just renaming |
الأزرق: الأعداد الطبيعية ℕ. الأخضر يضيف 0. البنفسجي يمتد إلى الأعداد الصحيحة السالبة ℤ. البرتقالي يضيف الكسور ℚ. الأحمر: الأعداد غير النسبية تملأ بقية ℝ.
تمتلك الرياضيات خمسة أنظمة أعداد رئيسية: الأعداد الطبيعية N (العد، بدون طرح)، الأعداد الصحيحة Z (إضافة الطرح والسالب)، الأعداد النسبية Q (إضافة القسمة)، الأعداد الحقيقية R (إضافة النهايات والأعداد غير النسبية)، الأعداد المركبة C (إضافة sqrt(−1)). كل توسيع حلّ معادلة لم يكن لها حل في النظام السابق. الأعداد المركبة مغلقة جبريًا: كل معادلة كثيرة الحدود لها حل داخل C. الاحتواء صارم: N داخل Z داخل Q داخل R داخل C، حيث تملأ الأعداد المتسامية الحلقة الخارجية من R.