تُشتق متطابقة Euler من صيغة Euler: eix = cos(x) + i·sin(x). بتعويض x = π نحصل على eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1، إذن eiπ + 1 = 0.
eiθ يرسم دائرة الوحدة. الدوران بمقدار π يصل إلى −1. أضف 1 تحصل على 0.
تربط بين الحساب (0 و1) والجبر (i) والهندسة (π) والتحليل (e) — أربعة فروع مختلفة من الرياضيات — في معادلة واحدة مذهلة البساطة. وصفها Richard Feynman بأنها “أروع صيغة في الرياضيات.”
نشر Leonhard Euler (1707–1783) الصيغة eix = cos(x) + i·sin(x) في كتابه Introductio in analysin infinitorum (1748). المتطابقة هي الحالة الخاصة عند x = π. قدّم Euler أو نشر الرموز e وi وf(x) وΣ وπ.
تتجمع متسلسلة تايلور لـ eˣ في cos(π) للحدود الحقيقية وi·sin(π) للحدود التخيلية. بما أن cos(π) = −1 وsin(π) = 0، نحصل على e^(iπ) = −1، وبالتالي e^(iπ) + 1 = 0.
الصيغة e^(iθ) ترسم دائرة وحدة على المستوى المركب كلما زاد θ. e^(iπ) هو دوران بمقدار π راديان بالضبط (180 درجة) من 1، ليصل إلى −1. إضافة 1 تُعيدك إلى 0. لهذا السبب e^(iπ) + 1 = 0: إنها نصف دورة في المستوى المركب مُعبَّر عنها كمعادلة.
e^(iθ) هو عامل دوران. عند θ=π تكون قد دُرت نصف دائرة بالضبط. النقطة 1 على المحور الحقيقي تنتقل إلى −1. إضافة 1 إلى الطرفين تعطي e^(iπ) + 1 = 0.
متطابقة أويلر e^(iπ) + 1 = 0 توحّد الثوابت الخمسة الأهم في الرياضيات: e (أساس اللوغاريتمات الطبيعية)، وi (الوحدة التخيلية)، وπ (ثابت الدائرة)، و1 (المحايد الضربي)، و0 (المحايد الجمعي). تنتج مباشرة من صيغة أويلر e^(iθ) = cos(θ) + i·sin(θ) بتعويض θ = π. بما أن cos(π) = −1 وsin(π) = 0، نحصل على e^(iπ) = −1. نُشرت لأول مرة من قبل أويلر حوالي 1748. صُوّت عليها كأجمل معادلة في الرياضيات في استطلاعات متعددة.