في أي مثلث قائم الزاوية، مربع الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين. إذا كان الضلعان a وb، والوتر c، فإن a² + b² = c². مثلث 3-4-5 يحقق 9 + 16 = 25.
a² + b² = c². For the 3-4-5 triangle: 9 + 16 = 25. The blue and red squares together equal the green square in area.
تسرد ألواح الطين البابلية من 1900 قبل الميلاد ثلاثيات فيثاغورس (3,4,5)، (5,12,13)، (8,15,17)، مما يدل على أن النتيجة كانت معروفة تجريبيًا قبل فيثاغورس بزمن طويل. قدّمت مدرسته (حوالي 570 قبل الميلاد) أول برهان. يُعرف الآن أكثر من 370 برهانًا مختلفًا، تشمل براهين جبرية وهندسية ومثلثية، وبرهانًا نشره الرئيس الأمريكي James Garfield عام 1876.
Table of Pythagorean triples
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
في n بُعدًا: المسافة من نقطة الأصل إلى (x₁, x₂, …, xₙ) هي √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²). تُبيّن مبرهنة Fermat الأخيرة (التي برهنها Andrew Wiles عام 1995 بعد 358 عامًا) أنه لا توجد حلول صحيحة لـ aⁿ + bⁿ = cⁿ عندما يكون n أكبر من 2. نظرية فيثاغورس هي الحالة n=2 التي تمتلك عددًا لا نهائيًا من الحلول الصحيحة.
Both big squares are (a+b)×(a+b). Both contain four identical right triangles. What is left over in the left square is c². What is left over in the right square is a²+b². They must be equal.
في أي مثلث قائم الزاوية: a^2 + b^2 = c^2. عُرفت تجريبيًا لدى البابليين بحلول 1800 قبل الميلاد؛ وبرهنها الفيثاغوريون لأول مرة حوالي 570 قبل الميلاد. يوجد أكثر من 370 برهانًا مختلفًا، بما في ذلك برهان للرئيس الأمريكي James Garfield عام 1876. الحلول الصحيحة هي ثلاثيات فيثاغورس: تُولَّد جميع الثلاثيات بالصيغة (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2). تُبيّن مبرهنة Fermat الأخيرة (التي برهنها Wiles عام 1995) أنه لا توجد حلول صحيحة مماثلة لأسس أكبر من 2. تمتد النظرية إلى n بُعدًا بصيغة المسافة الإقليدية.