نرمز بـ π(n) لعدد الأعداد الأولية حتى n. تنص مبرهنة الأعداد الأولية على أن π(n) ينمو مثل n/ln(n). كلما كبر n، فإن حوالي 1 من كل ln(n) عدد بالقرب من n يكون أوليًا. بالقرب من المليون، تقريبًا 1 من كل 14 عددًا أولي. بالقرب من المليار، 1 من كل 21.
π(n) يعدّ الأعداد الأولية حتى n (الدرج الأزرق). مبرهنة الأعداد الأولية تقول π(n) ~ n/ln(n) — النسبة → 1 عندما n → ∞. التكامل اللوغاريتمي Li(n) أقرب حتى.
خمّن غاوس هذه النتيجة حوالي عام 1800 بعد دراسة جداول الأعداد الأولية. أُثبتت بشكل مستقل عام 1896 بواسطة جاك هادامار وشارل-جان دي لا فاليه بوسان، وكلاهما استخدم دالة زيتا لريمان والتحليل المركب. عُثر على برهان أولي بحت (بدون تحليل مركب) بشكل مستقل بواسطة سلبرغ وإردوش عام 1948.
جدول يوضح كثافة الأعداد الأولية عند مقاييس مختلفة
| Up to n | Primes π(n) | Density ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 in 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 in 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 in 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 in 28 |
فرضية ريمان ستعطي أدق حد للخطأ: |π(n) − Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). بدونها، لا نعرف سوى أن الخطأ هو o(n/ln(n)). هذا هو السبب في أن فرضية ريمان هي أهم مسألة مفتوحة في الرياضيات: ستخبرنا بالضبط عن مدى قابلية التنبؤ بفجوات الأعداد الأولية.
تقريب أدق لـ π(n) من n/ln(n) هو التكامل اللوغاريتمي Li(n) = التكامل من 2 إلى n لـ dt/ln(t). فضّل غاوس هذا الشكل. عند n = 1,000,000: n/ln(n) يعطي 72,382 بينما Li(n) يعطي 78,628، مقابل العدد الدقيق 78,498. خطأ Li(n) أصغر بكثير. فرضية ريمان ستحدّ هذا الخطأ بدقة عند √n · ln(n).