اجمع مقلوبات جميع الأعداد الأولية حتى n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. هذا المجموع يتزايد، لكن ببطء شديد: كـ ln(ln(n)). ثابت مايسل-مرتنز M هو الفجوة الدقيقة بين هذا المجموع وحده المهيمن، تمامًا كما أن ثابت أويلر-ماسكيروني γ هو الفجوة بين المتسلسلة التوافقية و ln(n).
أثبت أويلر عام 1737 أن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية يتباعد. هذا أصعب بكثير من إثبات وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية، ويعطي إحساسًا كميًا بكثافة الأعداد الأولية. ثم تنص مبرهنة مرتنز على أن Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n)، مما يعطي M كحد ثابت دقيق.
Side by side comparison of Euler-Mascheroni and Meissel-Mertens constants
| Euler-Mascheroni γ | Meissel-Mertens M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0.5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615 |
| All integers | Primes only |
M و γ مرتبطان بالعلاقة M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). لا يُعرف ما إذا كان أي من الثابتين غير نسبي. كلاهما حُسب إلى مليارات المنازل العشرية ويُعتقد أنهما متساميان، لكن لا يوجد برهان لأيٍّ منهما. M: 0.261497212847642783755426838608669…
Harmonic sum (blue): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Prime reciprocal sum (grows like ln(ln(n))+M): only 0.84, 1.18, 1.52, 1.85 at the same points.
ثابت أويلر-ماسكيروني γ يقيس الفجوة بين المتسلسلة التوافقية (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) و ln(n). ثابت مايسل-مرتنز M يلعب الدور نفسه لمجموع مقلوبات الأعداد الأولية (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) مقابل ln(ln(n)). كلاهما ثابتا “تصحيح الخطأ” لمتسلسلات متباعدة تنمو لوغاريتميًا.
ثابت مايسل-مرتنز M ≈ 0.26149 يلعب لمقلوبات الأعداد الأولية الدور نفسه الذي يلعبه ثابت أويلر-ماسكيروني للمتسلسلة التوافقية. أثبت مرتنز عام 1874 أن 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + خطأ صغير. لا يُعرف ما إذا كان M غير نسبي. يظهر في مبرهنة مرتنز عن جداءات الأعداد الأولية وفي كثافة الأعداد الملساء. M و γ مرتبطان بمجموع محدد على جميع الأعداد الأولية.