ثابت إردوش-بوروين E هو المجموع 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ المقامات هي أعداد ميرسين 2ⁿ − 1. أثبت بول إردوش عام 1948 أن E عدد غير نسبي، مستخدمًا فقط الخصائص الأولية للتمثيلات الثنائية.
تتقارب المجاميع الجزئية بسرعة إلى E ≈ 1.6066951524. المقامات 2ⁿ−1 تنمو هندسيًا، مما يجعل التقارب أسرع بكثير من مسألة بازل.
تتقارب المتسلسلة بسرعة هندسية: كل حد يساوي تقريبًا نصف الحد السابق (لأن 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ لقيم n الكبيرة). بعد 20 حدًا فقط يكون المجموع دقيقًا إلى 6 منازل عشرية. المعادلة المكافئة E = Σ d(n)/2ⁿ (حيث d(n) تعدّ القواسم الفردية لـ n) تربطه بنظرية القسمة.
ما إذا كان E متساميًا لا يزال سؤالًا مفتوحًا. ما يجعل برهان إردوش على اللاعقلانية لا يُنسى هو اقتصاده: استخدم حقيقة أن التمثيلات الثنائية للمقامات 1، 3، 7، 15، 31… (وهي 1، 11، 111، 1111، 11111 بالثنائي) لها بنية خاصة تمنع المجموع من أن يكون نسبيًا. القيمة: 1.60669515245214159769492939967985…
كل مقام 2ⁿ − 1 يساوي تقريبًا ضعف السابق. المجموع يتقارب إلى E ≈ 1.6066951524.
ثابت إردوش-بوروين E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1.60669. أثبت بول إردوش لاعقلانيته عام 1948 باستخدام الخصائص الثنائية للمقامات 2ⁿ − 1. يساوي مجموع d(n)/2ⁿ حيث d(n) تعدّ القواسم الفردية لـ n. تتقارب المتسلسلة بسرعة: كل حد يساوي تقريبًا نصف السابق. ما إذا كان متساميًا غير معروف. القيمة: 1.60669515245214159769492939967985...