اللانهاية القابلة للعد أصغر بشكل صارم من اللانهاية غير القابلة للعد
اللانهاية ليست شيئًا واحدًا. أظهر غيورغ كانتور عام 1874 أن بعض اللانهايات أكبر فعلًا من غيرها. الأعداد الصحيحة والكسور والأعداد الزوجية كلها لا نهائية بالتساوي. لكن الأعداد الحقيقية تشكّل لانهاية أكبر بشكل صارم، ولا يمكن لأي قائمة أن تحتويها جميعًا.
حجة كانتور القطرية: لماذا لا يمكن إدراج الأعداد الحقيقية في قائمة
أحجام اللانهاية: تسلسل هرمي صارم
الأعداد الطبيعية والصحيحة والنسبية كلها لا نهائية قابلة للعد: يمكن وضعها جميعًا في تناظر واحد لواحد. الأعداد الحقيقية لا نهائية غير قابلة للعد: لانهاية أكبر بشكل صارم. بين هذين الحجمين، تسأل فرضية المتصل هل يوجد شيء بينهما.
فندق هيلبرت: فندق بغرف لا نهائية، كلها ممتلئة، لكن دائمًا يوجد مكان
أثبت كانتور عام 1874 أن اللانهايات ليست كلها متساوية. الأعداد الطبيعية والصحيحة والنسبية لا نهائية قابلة للعد: يمكن إدراجها في قائمة. الأعداد الحقيقية لا نهائية غير قابلة للعد: لا توجد قائمة كاملة لها، وهذا ما أثبتته الحجة القطرية. تُظهر مبرهنة كانتور أن مجموعة القوة لأي مجموعة لها عدد عناصر أكبر بشكل صارم من المجموعة نفسها، مما يولّد تسلسلًا هرميًا لا نهائيًا من اللانهايات. فرضية المتصل، التي تنص على أنه لا توجد لانهاية بين الأعداد الصحيحة والحقيقية، أُثبت أنها مستقلة عن نظرية المجموعات المعيارية.