ما هي المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل؟

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)

حيث F'(x) = f(x). أهم نتيجة في التفاضل والتكامل.

تربط المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل بين فكرتين تبدوان منفصلتين. الجزء الأول: إذا أُجري تكامل لدالة من نقطة ثابتة إلى x، فإن مشتقة ذلك التكامل هي الدالة الأصلية. الجزء الثاني: التكامل المحدد لـ f من a إلى b يساوي أي دالة أصلية F مقيّمة عند b مطروحًا منها F عند a.

المساحة تحت x² من 0 إلى 2: الدالة الأصلية تعطي الإجابة الدقيقة

∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667. الدالة الأصلية F(x) = x³/3 تعطي المساحة الدقيقة دون تقريب.

قبل هذه المبرهنة، كان حساب المساحات يتطلب مجاميع ريمان: تقسيم المنطقة إلى مستطيلات رفيعة وجمعها جميعًا وأخذ النهاية. تستبدل المبرهنة الأساسية كل ذلك بعملية طرح واحدة. أدرك نيوتن ذلك بحلول عام 1666 ولايبنتس بشكل مستقل بحلول عام 1675. أدى خلافهما حول الأسبقية إلى انقسام الرياضيات الأوروبية والبريطانية لجيل كامل.

جزءا المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل

Part 1: d/dx [∫ₐˣ f(t)dt] = f(x)

Part 2: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) where F'(x) = f(x)

Part 1 says differentiation undoes integration. Part 2 says to evaluate an integral, find an antiderivative and subtract the endpoints.

كل تكامل يُدرَّس في مقررات التفاضل والتكامل يستخدم الجزء الثاني: أوجد الدالة الأصلية، قيّمها عند نقطتي النهاية، ثم اطرح. يعمل هذا لأن التفاضل والتكامل عكسيتان تمامًا. إنها واحدة من أعمق النتائج وأكثرها فائدة في الرياضيات بأسرها.

متسلسلة تايلور → جداء واليس →

مجموع ريمان لتقريب المساحة: المبرهنة الأساسية تستبدل هذا بحساب واحد

مجموع ريمان بـ 8 مستطيلات يعطي ≈ 0.273. الإجابة الدقيقة هي 8/3 ≈ 2.667. المبرهنة الأساسية تعطي نتائج دقيقة دون الحاجة إلى مستطيلات.

التطبيق الفيزيائي

الشغل المبذول بواسطة قوة متغيرة F(x) على إزاحة من a إلى b هو W = ∫ من a إلى b لـ F(x) dx = P(b) - P(a)، حيث P دالة طاقة الوضع التي تحقق P' = -F. السرعة تتكامل لتعطي الإزاحة؛ والقوة تتكامل لتعطي الدفع. المبرهنة الأساسية هي ما يجعل هذه الحسابات عملية بدلًا من الحاجة إلى مجاميع ريمان لا نهائية.