الدالة e^(−x²) هي منحنى الجرس: تبلغ ذروتها 1 عندما x = 0 وتنخفض بشكل متماثل نحو 0 في كلا الاتجاهين. المساحة تحتها عبر خط الأعداد الحقيقية بأكمله تساوي بالضبط √π ≈ 1.7724. هذا أمر مذهل: e و π اللذان يظهران عادةً في سياقات مختلفة يتحدان في أبسط تكامل في نظرية الاحتمالات.
تكامل e^(−x²) على كل x يساوي √π ≈ 1.7725. هذا هو التكامل الغاوسي. جذره التربيعي مقسومًا على √(2π) يعطي منحنى التوزيع الطبيعي المعياري.
البرهان هو واحد من أكثر الحيل أناقةً في الرياضيات. ليكن I = ∫e^(−x²)dx. نحسب I² بكتابته كتكامل مزدوج على x و y، ثم ننتقل إلى الإحداثيات القطبية r, θ. تصبح الدالة المُكاملة e^(−r²) وعنصر المساحة يصبح r·dr·dθ. وجود r يجعل التكامل أوليًا: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. بالضرب في ∫₀^(2π) dθ = 2π نحصل على I² = π، إذن I = √π.
يعتمد التوزيع الطبيعي، ومبرهنة النهاية المركزية، ودوال الموجة الكمومية (التي تستخدم حزم موجية غاوسية)، وتقريب ستيرلنغ للمضروب، جميعها على هذا التكامل الواحد. تظهر القيمة √π أينما أُجري تكامل لـ e^(−x²)، وهو ما يتكرر في كل مكان تقريبًا في الاحتمالات المتصلة.
التكامل الغاوسي: تكامل e^(-x^2) dx من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية = √π. البرهان الأنيق يربّع التكامل، ثم يحوّله إلى إحداثيات قطبية، ويحسبه بدقة. هذا هو الحساب الأساسي وراء التوزيع الطبيعي: كثافة الاحتمال (1/√(2π))·e^(-x²/2) تكاملها يساوي 1. تظهر الدالة الغاوسية في ميكانيكا الكم، وانتشار الحرارة، وتقريب ستيرلنغ، ومبرهنة النهاية المركزية.