العدد متسامٍ إذا لم يكن جذرًا لأي معادلة متعددة حدود ذات معاملات صحيحة. π لا يحقق أي معادلة مثل x^2 - 3x + 1 = 0. وe لا يحقق أي معادلة من هذا النوع. إنها توجد خارج نطاق الجبر. رغم ندرة تسميتها، فإن الأعداد المتسامية هي القاعدة وليس الاستثناء: تقريبًا كل عدد حقيقي هو عدد متسامٍ.
Every rational number is algebraic. Every algebraic number is real. But the transcendentals, the numbers outside the algebraic ring, are vastly more numerous than all algebraic numbers combined.
From Liouville's artificial construction (1844) to the Gelfond-Schneider theorem (1934), transcendence theory grew from curiosity to a major branch of number theory.
Table showing algebraic numbers with their minimal polynomials versus transcendental numbers with no such polynomial
| NUMBER | MINIMAL POLYNOMIAL |
|---|---|
| sqrt(2) = 1.41421... | x^2 - 2 = 0 |
| phi = 1.61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| cbrt(5) = 1.70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = sqrt(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| pi = 3.14159... | no polynomial exists |
| e = 2.71828... | no polynomial exists |
| e^pi = 23.1406... | no polynomial exists |
العدد متسامٍ إذا لم يحقق أي معادلة متعددة حدود ذات معاملات صحيحة. قدّم ليوفيل أول مثال صريح عام 1844. أثبت إرميت أن e متسامٍ عام 1873. أثبت ليندمان أن π متسامٍ عام 1882، مما حسم أخيرًا مسألة تربيع الدائرة القديمة باعتبارها مستحيلة. تُظهر مبرهنة غيلفوند-شنايدر (1934) أن a^b متسامٍ عندما يكون a جبريًّا وليس 0 أو 1، وb جبريًّا وغير نسبي. رغم أن الأعداد المتسامية هي القاعدة وليس الاستثناء، يبقى إثبات تسامي عدد محدد أمرًا بالغ الصعوبة.