يكتب جداء واليس π/2 كجداء لانهائي من كسور بسيطة: (2/1) × (2/3) × (4/3) × (4/5) × (6/5) × (6/7) × ⋯ كل عدد زوجي يظهر مرتين، مرة أكبر ومرة أصغر من جيرانه. اضرب حدودًا كافية ويتقارب الجداء نحو π/2 ≈ 1.5708.
Wallis product: (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)... The partial products converge to π/2 ≈ 1.5708 from below, oscillating around the limit.
استنتج جون واليس هذه الصيغة عام 1655 من التكامل ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx، بمقارنة حالتي n الزوجي والفردي. ما يجعلها مذهلة هو أنها تستخرج π من ضرب أعداد نسبية فقط، دون أي هندسة. نفس الجداء ينبثق من متطابقة دالة غاما: π = Γ(1/2)².
يتقارب جداء واليس ببطء شديد: بعد n زوج يكون الخطأ من رتبة 1/(4n). له أهمية نظرية هائلة كأحد أوائل الجداءات اللانهائية التي دُرست، مما فتح الطريق لتحليل sin(x) = x∏(1 - x²/n²π²) ونظرية الجداءات اللانهائية بأكملها في التحليل المركب.
Even n: I(n) = (π/2)·(1/2)·(3/4)·(5/6)…(n−1)/n. Odd n: I(n) = 1·(2/3)·(4/5)…(n−1)/n. The ratio of adjacent integrals I(2n)/I(2n+1) → 1, giving the Wallis product.